Question

10．?dāng)?shù)式1+$\frac{1}{{1+\frac{1}{1+…}}}$中省略號“…”代表無限重復(fù)，因原式是一個固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，則1+$\frac{1}{t}$=t，則t²-t-1=0，取正值得t=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，用類似方法可得$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+…}}}$=2．

Answer 1

分析 通過已知得到求值方法：先換元，再列方程，解方程，求解（舍去負(fù)根），再運用該方法，注意兩邊平方，得到方程，解出方程舍去負(fù)的即可．

解答 解：由已知代數(shù)式的求值方法：
先換元，再列方程，解方程，求解（舍去負(fù)根），
可得要求的式子．
令$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+…}}}$=m（m＞0），
則兩邊平方得，2$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+…}}}$=m²，
即2+m=m²，解得，m=2（-1舍去）．
故答案為：2．

點評 本題考查類比推理的思想方法，考查從方法上類比，是一道基礎(chǔ)題．