Question

20．已知函數(shù)f（x）=log₂（x+m），且2f（2）=f（0）+f（6）．
（1）求f（30）的值；
（2）若a，b，c是兩兩不相等的正數(shù)，且b²=ac，試判斷f（a）+f（c）與2f（b）的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，列出方程求出m的值，寫出函數(shù)f（x）的解析式，再求f（30）的值；
（2）f（a）+f（c）≥f（b），利用對數(shù)的運算性質(zhì)，結(jié)合基本不等式可證明結(jié)論成立．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log₂（x+m），且2f（2）=f（0）+f（6），
∴2log₂（2+m）=log₂m+log₂（6+m），
$\left\{\begin{array}{l}{{（2+m）}^{2}=m（6+m）}\\{m＞0}\end{array}\right.$
解得m=2，
∴f（x）=log₂（x+2），
∴f（30）=log₂（30+2）=5；
（2）f（a）+f（c）≥f（b），證明如下；
∵f（a）+f（c）=log₂（a+2）+log₂（c+2）=log₂（a+2）（c+2），
2f（b）=2log₂（b+2）=log₂（b+2）²，
且a，b，c是兩兩不相等的正數(shù)，b²=ac，
∴b=$\sqrt{ac}$，且a+c≥2$\sqrt{ac}$，當且僅當“a=c”時取“=”，
∴（b+2）²-（a+2）（c+2）=（b²+4b+4）-（ac+2a+2c+4）=2[2b-（a+c）]≤2（2b-2$\sqrt{ac}$）=0，
∴（b+2）²≤（a+2）（c+2），
即f（a）+f（c）≥2f（b）．

點評 本題考查了求函數(shù)的解析式與求函數(shù)值的應用問題，也考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與應用問題，是中檔題目．