Question

8．已知在直角坐標系x0y中，曲線W：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α是參數(shù)），在以0為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標線l：2ρcosθ-ρsinθ+3=0．
（1）求直線l的直角坐標方程與曲線W的普通方程；
（2）若點P在直線l上，點Q在曲線W上，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化為直角坐標方程；
（2）利用點到直線的距離公式及其三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）由l的極坐標方程：2ρcosθ-ρsinθ+3=0，可得直角坐標方程：2x-y+3=0．
（2）設Q（cosα，2sinα），到直線l的距離d=$\frac{|2cosα-2sinα+3|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|2\sqrt{2}cos（α+φ）+3|}{\sqrt{5}}$≥$\frac{3-2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}-2\sqrt{10}}{5}$，當且僅當cos（α+φ）=-1時取等號．
∴|PQ|的最小值是$\frac{3\sqrt{5}-2\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、點到直線的距離公式及其三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．