Question

20．試求出函數(shù)y=cos²x-sin²x+2sinxcosx的單調(diào)遞增區(qū)間和最大值．

Answer 1

分析 由二倍角公式得到y(tǒng)=sin（2x+$\frac{π}{4}$），由此能求出函數(shù)y=cos²x-sin²x+2sinxcosx的單調(diào)遞增區(qū)間和最大值．

解答 解：y=cos²x-sin²x+2sinxcosx
=cos2x+sin2x
=sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴函數(shù)y=cos²x-sin²x+2sinxcosx的單調(diào)遞增區(qū)間滿足：
-$\frac{π}{2}+2kπ$$≤2x+\frac{π}{4}≤$$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
解得-$\frac{3}{8}π+kπ$≤x≤$\frac{π}{8}+kπ$，
∴函數(shù)y=cos²x-sin²x+2sinxcosx的單調(diào)遞增區(qū)間為[-$\frac{3}{8}π+kπ$，$\frac{π}{8}+kπ$]，k∈Z；
函數(shù)y=cos²x-sin²x+2sinxcosx的最大值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用．