Question

5．給出定義：若$m-\frac{1}{2}＜x≤m+\frac{1}{2}$（m為整數(shù)），則m叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}=m．下列關(guān)于函數(shù)f（x）=|x-{x}|的四個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?[0，\frac{1}{2}]$；
②函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線$x=\frac{k}{2}（k∈Z）$對(duì)稱；
③函數(shù)y=f（x）在$[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$上是增函數(shù)；
④對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（-x）=f（x）
其中正確結(jié)論的序號(hào)是（　�。�

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ②③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 根據(jù)題意，畫出函數(shù)f（x）的圖象，結(jié)合函數(shù)的圖象與解析式，對(duì)以下4個(gè)命題進(jìn)行判斷即可．

解答 解：由題意：x-{x}=x-m，
∴令g（x）=x-{x}=x-m，
當(dāng)m=0時(shí)，-$\frac{1}{2}$＜x$≤\frac{1}{2}$，∴g（x）=x，
當(dāng)m=1時(shí)，1-$\frac{1}{2}$＜x≤1+$\frac{1}{2}$，g（x）=x-1；
當(dāng)m=2時(shí)，2$-\frac{1}{2}$＜x≤2$+\frac{1}{2}$，g（x）=x-2；
…
…
畫出函數(shù)的圖象，如圖所示：

f（x）=|x-{x}|就是將g（x）關(guān)于x軸翻折到上方（圖右）．
由圖象知
①函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?[0，\frac{1}{2}]$；正確．
②函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線$x=\frac{k}{2}（k∈Z）$對(duì)稱；正確．
③函數(shù)y=f（x）在$[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$上是增函數(shù)；不對(duì)；在$[-\frac{1}{2}，0]$是減函數(shù)，$[0，\frac{1}{2}]$是增函數(shù)．
④對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（-x）=f（x）正確．
確的命題是①②④．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義的題目，解題的關(guān)鍵是讀懂定義的內(nèi)涵，嘗試探究解決，是較難的題目．