【題目】如圖所示的多面體ABCDEF滿足:正方形ABCD與正三角形FBC所在的兩個(gè)平面互相垂直,FBAEFB2EA.

1)證明:平面EFD⊥平面ABFE

2)求二面角EFDC的余弦值.

【答案】1)證明見解析(2

【解析】

1)先證明AB⊥平面BCF,然后可得平面EFD⊥平面ABFE;

2)建立空間直角坐標(biāo)系,求解平面的法向量,然后利用向量的夾角公式可求.

1)由題可得,因?yàn)?/span>ABCD是正方形且三角形FBC是正三角形,所以BCAD,BCAD,FBBC且∠FBC60°,

又因?yàn)?/span>EAFB2EAFB,所以∠EAD60°,在三角形EAD中,根據(jù)余弦定理可得:EDAE.

因?yàn)槠矫?/span>ABCD⊥平面FBC,ABBC,平面ABCD平面FBCBC,且AB平面ABCD,所以AB⊥平面BCF

因?yàn)?/span>BCAD, E AFB,FBBCB,且FB、BC平面FCBEA、AD平面EAD,所以平面EAD∥平面FBC,所以AB⊥平面EAD,

又因?yàn)?/span>ED平面EAD,所以ABED,

綜上:EDAE,EDABEAABAEA、AB平面ABFE,所以DE⊥平面ABFE,

DE平面DEF,所以平面EFD⊥平面ABFE.

2)如圖,分別取BCAD的中點(diǎn)OG,連接OF,OG,

因?yàn)?/span>BOOC且三角形FBC為正三角形,所以FOBC,

因?yàn)?/span>AGGDBOOC,所以OGAB

由(1)可得,AB⊥平面FBC,則OG⊥平面FBC,

OF、OB、OG兩兩垂直,分別以OB、OGOF所在直線為x,yz軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

不妨設(shè)BC4,則,

設(shè)平面DEF的法向量為,平面DCF的法向量為

,

,

所以

又二面角EFDC是鈍二面角,所以二面角EFDC的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】今年情況特殊,小王在居家自我隔離時(shí)對(duì)周邊的水產(chǎn)養(yǎng)殖產(chǎn)業(yè)進(jìn)行了研究.兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤(rùn)率分別為投資變量.根據(jù)市場(chǎng)分析,的分布列分別為:

5%

10%

0.8

0.2

2%

8%

12%

0.2

0.5

0.3

1)若在兩個(gè)項(xiàng)目上各投資萬元,分別表示投資項(xiàng)目所獲得的利潤(rùn),求方差,;

2)若在兩個(gè)項(xiàng)目上共投資萬元,那么如何分配,能使投資項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差與投資項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差的和最小,最小值是多少?

(注:

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【題目】如圖,在中,,,,分別為,的中點(diǎn)是由繞直線旋轉(zhuǎn)得到,連結(jié),.

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2)若,棱上是否存在一點(diǎn),使得?若存在,確定點(diǎn) 的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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【題目】對(duì)任意,給定區(qū)間,設(shè)函數(shù)表示實(shí)數(shù)所屬的給定區(qū)間內(nèi)唯一整數(shù)之差的絕對(duì)值.

1)當(dāng)時(shí),求出的解析式;時(shí),寫出絕對(duì)值符號(hào)表示的解析式;

2)求,,判斷函數(shù)的奇偶性,并證明你的結(jié)論;

3)當(dāng)時(shí),求方程的實(shí)根.(要求說明理由,

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【題目】《周易》是我國(guó)古代典籍,用描述了天地世間萬象變化.如圖是一個(gè)八卦圖,包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦(每一卦由三個(gè)爻組成,其中表示一個(gè)陽爻,表示一個(gè)陰爻).若從八卦中任取兩卦,這兩卦的六個(gè)爻中恰有一個(gè)陽爻的概率為(

A.B.

C.D.

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【題目】采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)(PMI)是衡量一個(gè)國(guó)家制造業(yè)的體檢表,是衡量制造業(yè)在生產(chǎn)新訂單、商品價(jià)格、存貨、雇員、訂單交貨、新出口訂單和進(jìn)口等八個(gè)方面狀況的指數(shù),下圖為20189—20199月我國(guó)制造業(yè)的采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)(單位:%.

1)求2019年前9個(gè)月我國(guó)制造業(yè)的采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)的中位數(shù)及平均數(shù)(精確到0.1);

2)從20194—20199月這6個(gè)月任意選取2個(gè)月,求這兩個(gè)月至少有一個(gè)月采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)與上個(gè)月相比有所回升的概率.

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(Ⅰ)已知某高中共有32名男體育特長(zhǎng)生,其身高與指數(shù)的數(shù)據(jù)如散點(diǎn)圖,請(qǐng)根據(jù)所得信息,完成下述列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為男生的身高對(duì)指數(shù)有影響.

身高較矮

身高較高

合計(jì)

體重較輕

體重較重

合計(jì)

(Ⅱ)①?gòu)纳鲜?/span>32名男體育特長(zhǎng)生中隨機(jī)選取8名,其身高和體重的數(shù)據(jù)如表所示:

編號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

身高

166

167

160

173

178

169

158

173

體重

57

58

53

61

66

57

50

66

根據(jù)最小二乘法的思想與公式求得線性回歸方程為.利用已經(jīng)求得的線性回歸方程,請(qǐng)完善下列殘差表,并求(解釋變量(身高)對(duì)于預(yù)報(bào)變量(體重)變化的貢獻(xiàn)值)(保留兩位有效數(shù)字);

編號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

體重(kg

57

58

53

61

66

57

50

66

殘差

②通過殘差分析,對(duì)于殘差的最大(絕對(duì)值)的那組數(shù)據(jù),需要確認(rèn)在樣本點(diǎn)的采集中是否有人為的錯(cuò)誤,已知通過重新采集發(fā)現(xiàn),該組數(shù)據(jù)的體重應(yīng)該為.小明重新根據(jù)最小二乘法的思想與公式,已算出,請(qǐng)?jiān)谛∶魉愕幕A(chǔ)上求出男體育特長(zhǎng)生的身高與體重的線性回歸方程.

參考數(shù)據(jù):

,,

參考公式:,,,

0.10

0.05

0.01

0.005

2.706

3.811

6.635

7.879

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