Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx），其中常數(shù)ω＞0，令ω=2，將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移個

π

6

單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若函數(shù)y=g（z）在區(qū)間[m，m+10π]（-

π

4

＜m＜

5π

12

）上有20個零點：a₁，a₂，a₃，…，a₂₀，求a₁+a₂+a₃+…+a₂₀的值．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,數(shù)列的求和

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)圖象平移變換求出g（x），令g（z）=0，求得z=kπ+

5π

12

，或 z=kπ+

3π

4

，k∈z，可得 a₁+a₂+a₃+…+a₁₉+a₂₀=[

5π

12

+（π+

5π

12

）+（2π+

5π

12

）+…+（9π+

5π

12

）]+[

3π

4

+（π+

3π

4

）+（2π+

3π

4

）+…+（9π+

3π

4

）]，計算求得結(jié)果．

解答： 解：由題意可得，g（x）=2sin2（x+

π

6

）+1=2sin（2x+

π

3

）+1．
若函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[m，m+10π]上有20個零點，則區(qū)間[m，m+10π]恰好包含10個周期，
函數(shù)在區(qū)間[m+kπ，m+（k+1）π]上恰有兩個零點，故在[m，m+10π]上有20個零點．
令g（z）=2sin（2z+

π

3

）+1=0，求得 sin（2z+

π

3

）=-

1

2

，
∴2z+

π

3

=2kπ+

7π

6

，或2z+

π

3

=2kπ+

11π

6

，即 z=kπ+

5π

12

，或 z=kπ+

3π

4

，k∈z．
再結(jié)合-

π

4

＜m＜

5π

12

，在區(qū)間[m，m+10π]上，∴a₁+a₂+a₃+…+a₁₉+a₂₀
=[

5π

12

+（π+

5π

12

）+（2π+

5π

12

）+…+（9π+

5π

12

）]+[

3π

4

+（π+

3π

4

）+（2π+

3π

4

）+…+（9π+

3π

4

）]
=

295

6

+

105π

2

=

305

3

．

點評：本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換、函數(shù)的奇偶性、根的存在性及根的個數(shù)的判斷，考查數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合圖象分析是解決問題的關鍵，屬于基礎題．