Question

9．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若同時滿足以下兩個條件：
①函數(shù)f（x）在D內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；
②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使函數(shù)f（x）在[a，b]內(nèi)的值域是[-b，-a]．
那么稱函數(shù)f（x）為“W函數(shù)”．
已知函數(shù)$f（x）=-\sqrt{x}-k$為“W函數(shù)”．
（1）當(dāng)k=0時，b-a的值是1；
（2）實(shí)數(shù)k的取值范圍是（$-\frac{1}{4}，0$]．

Answer 1

分析 （1）由題意可看出，對于“W函數(shù)”有，方程f（x）=-x在定義域D上至少有兩個不同實(shí)數(shù)根，并且a，b便為方程f（x）=-x的實(shí)數(shù)根，k=0時，解方程$-\sqrt{x}=-x$便可得出a，b的值，從而求出b-a的值；
（2）可令$\sqrt{x}=t$，（t≥0），從而得到方程-t-k=-t²，即一元二次方程t²-t-k=0在[0，+∞）上有兩個不同實(shí)數(shù)根，從而可得到$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{{0}^{2}-0-k≥0}\end{array}\right.$，解該不等式組即可得出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：根據(jù)題意知，“W函數(shù)”在定義域D上需滿足：方程f（x）=-x至少有兩個不同的實(shí)數(shù)根；
（1）k=0時，解$-\sqrt{x}=-x$得，x=0，或1；
∴a=0，b=1；
∴b-a=1；
（2）令$\sqrt{x}=t（t≥0）$，由方程$-\sqrt{x}-k=-x$得，-t-k=-t²；
∴t²-t-k=0在[0，+∞）上有兩個不同實(shí)數(shù)根；
設(shè)g（t）=t²-t-k，則：$\left\{\begin{array}{l}{△=1+4k＞0}\\{g（0）=-k≥0}\end{array}\right.$；
解得$-\frac{1}{4}＜k≤0$；
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為$（-\frac{1}{4}，0]$．
故答案為：1，（$-\frac{1}{4}$，0]．

點(diǎn)評 考查對“W函數(shù)”定義的理解，減函數(shù)的定義，清楚y=-x在[a，b]上的值域?yàn)閇-b，-a]，換元法將無理方程變成有理方程的方法，一元二次方程實(shí)數(shù)根的個數(shù)和判別式△取值的關(guān)系，要熟悉二次函數(shù)的圖象．