Question

1．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=DC=1，以D為圓心，DC為半徑，作弧和AD交于點(diǎn)E，點(diǎn)P為劣弧CE上的動(dòng)點(diǎn)，如圖所示．
（1）求|$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}$|；
（2）求$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）建立坐標(biāo)系，代入各點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算；
（2）設(shè)P（cosα，sinα），用α表示出$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$，轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)求最值．

解答 解：（1）以DA所在直線(xiàn)為x軸，D為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
則 A（2，0），B（1，1），C（0，1），D（0，0），
$\overrightarrow{DA}$=（2，0），$\overrightarrow{DC}$=（0，1），∴$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}$=（2，1）．
∴|$\overrightarrow{DA}+DC$|=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
（2）設(shè)點(diǎn)$P（cosα，sinα），0≤α≤\frac{π}{2}$，
∴$\overrightarrow{PA}=（2-cosα，-sinα）$，$\overrightarrow{PB}=（1-cosα，1-sinα）$
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=（2-cosα）（1-cosα）+（-sinα）（1-sinα）$=-（sinα+3cosα）+3=$-\sqrt{10}sin（α+φ）+3$，（sinφ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，cosφ=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$）
∵$α∈[0，\frac{π}{2}]，tanφ=3$
∴當(dāng)sin（α+φ）=1時(shí)，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取得最小值是$3-\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量在幾何中的應(yīng)用，建立坐標(biāo)系是關(guān)鍵．