Question

4．某市一高中經(jīng)過層層上報(bào)，被國家教育部認(rèn)定為2015年全國青少年足球特色學(xué)校．該校成立了特色足球隊(duì)，隊(duì)員來自高中三個(gè)年級(jí)，人數(shù)為50人．視力對(duì)踢足球有一定的影響，因而對(duì)這50人的視力作一調(diào)查．測(cè)量這50人的視力（非矯正視力）后發(fā)現(xiàn)他們的視力全部介于4.75和5.35之間，將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成6組：第一組[4.75，4.85），第二組[4.85，4.95），…，第6組[5.25，5.35]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．又知：該校所在的省中，全省喜愛足球的高中生視力統(tǒng)計(jì)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：全省100000名喜愛足球的高中生的視力服從正態(tài)分布N（5.01，0.0064）．
（1）試評(píng)估該校特色足球隊(duì)人員在全省喜愛足球的高中生中的平均視力狀況；
（2）求這50名隊(duì)員視力在5.15以上（含5.15）的人數(shù)；
（3）在這50名隊(duì)員視力在5.15以上（含5.15）的人中任意抽取2人，該2人中視力排名（從高到低）在全省喜愛足球的高中生中前130名的人數(shù)記為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望．
參考數(shù)據(jù)：若ξ～N（μ，σ²），則P（μ-σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．

Answer 1

分析 （1）用組中值×頻率，即可得到結(jié)論；
（2）首先理解頻數(shù)分布直方圖橫縱軸表示的意義，橫軸表示身高，縱軸表示頻數(shù)，即：每組中包含個(gè)體的個(gè)數(shù)．我們可以依據(jù)頻數(shù)分布直方圖，了解數(shù)據(jù)的分布情況，知道每段所占的比例，從而求出這50名隊(duì)員視力在5.15以上（含5.15）的人數(shù)；
（3）先根據(jù)正態(tài)分布的規(guī)律求出全市前130名的視力在5.25以上，這50人中5.25以上的有2人，確定ξ的可能取值，求出其概率，即可得到ξ的期望．

解答 解：（1）由直方圖，經(jīng)過計(jì)算該校特色足球隊(duì)人員在全省喜愛足球的高中生中的平均視力狀況為4.8×0.1+4.9×0.2+5.0×0.3+5.1×0.2+5.2×0.1+5.3×0.1=5.03．…（4分）
（2）由頻率分布直方圖知，后2組頻率為0.2，人數(shù)為0.2×50=10，即這50名隊(duì)員視力在5.15以上（含5.15）的人數(shù)為10人．…（6分）
（3）∵P（5.01-3×0.08＜ξ≤5.01+3×0.08）=0.9974，
∴P（ξ≥5.25）=0.0013，0.0013×100 000=130．
所以，全市前130名的視力在5.25以上，這50人中5.25以上的有2人．
隨機(jī)變量ξ可取0，1，2，于是
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{8}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{28}{45}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{8}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{16}{45}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{45}$，
∴Eξ=0×$\frac{28}{45}$+1×$\frac{16}{45}$+2×$\frac{1}{45}$=$\frac{2}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了正態(tài)分布，考查隨機(jī)變量的定義及其分布列，并考查了利用分布列求其期望．正確理解頻數(shù)分布直方圖橫縱軸表示的意義，由頻數(shù)分布直方圖可以得到什么結(jié)論是學(xué)習(xí)中需要掌握的關(guān)鍵．