Question

11．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的離心率為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，若拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離為1，
（1）求拋物線C的方程；
（2）過點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸下方），若$\overline{AF}=\frac{1}{3}\overline{FB}$，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （1）利用雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的離心率為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，可得雙曲線的漸近線的方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，根據(jù)拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離為1，即可求拋物線C的方程；
（2）利用$\overline{AF}=\frac{1}{3}\overline{FB}$，求出A，B的坐標(biāo)，利用斜率公式，可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的離心率為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
∴$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴雙曲線的漸近線的方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∵拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離為1，
∴$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{3}•\frac{p}{2}|}{\sqrt{\frac{1}{3}+1}}$=1，∴p=4，
∴拋物線C的方程為y²=8x；
（2）拋物線的焦點(diǎn)F（2，0）
設(shè)A（x，y），B（m，n），（y＜0），則
∵$\overline{AF}=\frac{1}{3}\overline{FB}$，∴（2-x，-y）=$\frac{1}{3}$（m-2，n）
∴m=8-3x，n=-3y
∵A，B都在拋物線上
∴y²=8x，9y²=8（8-3x）
∴x=$\frac{3}{4}$，
∴y=-$\sqrt{6}$，
∴AB的斜率就是$\frac{\sqrt{6}}{2-\frac{3}{4}}$=$\frac{4\sqrt{6}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．