Question

15．設S_n為各項不相等的等差數(shù)列{a_n}的前n項和，已知a₃a₅=3a₇，S₃=9．
（1）求數(shù)列{a_n}通項公式；
（2）設T_n為數(shù)列{${\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right.$}的前n項和，求$\frac{T_n}{{{a_{n+1}}}}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）通過設{a_n}的公差為d，利用a₃a₅=3a₇與S₃=9聯(lián)立方程組，進而可求出首項和公差，進而可得結(jié)論
（2）通過（1）裂項、并項相加可知T_n=$\frac{n}{2（n+2）}$，利用基本不等式即得結(jié)論．

解答 解：（1）設{a_n}的公差為d，
∵a₃a₅=3a₇，S₃=9，
∴$\left\{\begin{array}{l}（{{a_1}+2d}）（{{a_1}+4d}）=3（{{a_1}+6d}）\\ 3{a_1}+\frac{3×2}{2}d=9\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}d=0\\{a_1}=3\end{array}\right.$（舍去）或$\left\{\begin{array}{l}d=1\\{a_1}=2\end{array}\right.$，
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1；
（2）∵$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{n+1}）（{n+2}）}}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴${T_n}=\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$
=$（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+…+（{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$
=$\frac{n}{{2（{n+2}）}}$，
∴$\frac{T_n}{{{a_{n+1}}}}=\frac{n}{{2{{（{n+2}）}^2}}}=\frac{n}{{2（{{n^2}+4n+4}）}}=\frac{1}{{2（{n+4+\frac{4}{n}}）}}≤\frac{1}{{2（{4+2\sqrt{n•\frac{4}{n}}}）}}=\frac{1}{16}$，
當且僅當 $n=\frac{4}{n}$，即n=2時“=”成立，
即當n=2時，$\frac{T_n}{{{a_{n+1}}}}$取得最大值$\frac{1}{16}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查裂項相消法，涉及基本不等式等基礎知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．