Question

10．現(xiàn)有甲、乙、丙三人參加某電視的一檔應(yīng)聘節(jié)目，若甲應(yīng)聘成功的概率為$\frac{1}{2}$，乙、丙應(yīng)聘成功的概率均為$\frac{t}{2}$（0＜t＜2），且三人是否應(yīng)聘成功是相互獨(dú)立的．
（1）若乙、丙有且只有一人應(yīng)聘成功的概率等于甲應(yīng)聘成功的概率，求t的值；
（2）若三人中恰有兩人應(yīng)聘成功的概率為$\frac{7}{32}$，求t的值；
（3）記應(yīng)聘成功的人數(shù)為ξ，若當(dāng)且僅當(dāng)ξ=2時，對應(yīng)的概率最大，求E（ξ）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意得2×$\frac{t}{2}$（1-$\frac{t}{2}$）=$\frac{1}{2}$，由此能求出t的值．
（2）由已知得三人中恰有兩人應(yīng)聘成功的概率p=$\frac{1}{2}×\frac{t}{2}×（1-\frac{t}{2}）$+$\frac{1}{2}×（1-\frac{t}{2}）×\frac{t}{2}$+（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{t}{2}×\frac{t}{2}$=$\frac{7}{32}$，由此利用相互獨(dú)立事件乘法公式能求出結(jié)果．
（3）由題意知ξ的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出E（ξ）的取值范圍

解答 解：（1）∵甲應(yīng)聘成功的概率為$\frac{1}{2}$，乙、丙應(yīng)聘成功的概率均為$\frac{t}{2}$（0＜t＜2），
且三人是否應(yīng)聘成功是相互獨(dú)立的．
乙、丙有且只有一人應(yīng)聘成功的概率等于甲應(yīng)聘成功的概率，
∴由題意得2×$\frac{t}{2}$（1-$\frac{t}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
解得t=1．
（2）由已知得三人中恰有兩人應(yīng)聘成功的概率：
p=$\frac{1}{2}×\frac{t}{2}×（1-\frac{t}{2}）$+$\frac{1}{2}×（1-\frac{t}{2}）×\frac{t}{2}$+（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{t}{2}×\frac{t}{2}$=$\frac{7}{32}$
∴$\frac{4t-{t}^{2}}{8}=\frac{7}{32}$，解得$t=\frac{1}{2}$或t=$\frac{7}{2}$，
∵0＜t＜2，∴t=$\frac{1}{2}$．
（3）由題意知ξ的所有可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=（1-$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{t}{2}$）（1-$\frac{t}{2}$）=$\frac{（1-t）^{2}}{8}$，
P（ξ=1）=$\frac{1}{2}（1-\frac{t}{2}）（1-\frac{t}{2}）$+$（1-\frac{1}{2}）×\frac{t}{2}×（1-\frac{t}{2}）$+（1-$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{t}{2}$）×$\frac{t}{2}$=$\frac{4-{t}^{2}}{8}$，
P（ξ=2）=$\frac{1}{2}×\frac{t}{2}×（1-\frac{t}{2}）$+$\frac{1}{2}×（1-\frac{t}{2}）×\frac{t}{2}$+（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{t}{2}×\frac{t}{2}$=$\frac{4t-{t}^{2}}{8}$，
P（ξ=3）=$\frac{1}{2}×\frac{t}{2}×\frac{t}{2}=\frac{{t}^{2}}{8}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{（2-t）^{2}}{8}$	$\frac{4-{t}^{2}}{8}$	$\frac{4t-{t}^{2}}{8}$	$\frac{{t}^{2}}{8}$

E（ξ）=$0×\frac{（2-t）^{2}}{8}$+1×$\frac{4-{t}^{2}}{8}$+2×$\frac{4t-{t}^{2}}{8}$+3×$\frac{{t}^{2}}{8}$=t+$\frac{1}{2}$，
由題意知P（ξ=2）-P（ξ=1）=$\frac{t-1}{2}$＞0，
P（ξ=2）-P（ξ=0）=$\frac{-{t}^{2}+4t-2}{4}$＞0，
P（ξ=2）-P（ξ=3）=$\frac{2t-{t}^{2}}{4}$，
又0＜t＜2，∴1＜t＜2，
∴$\frac{3}{2}$＜E（ξ）＜$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查相互獨(dú)立事件概率、離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．