Question

已知等比數(shù)列{a_n}的首項a₁=-

1

2

，其前四項恰是方程（x²+mx+2）（x²+nx+2）=0的四個根，則m+n=

 

．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì),函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系,等比數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由等比數(shù)列的性質(zhì)和韋達定理可得a₁=-

1

2

，a₄=-4，進而可得公比q=2，可得a₂=-1，a₃=-2，再由韋達定理可得m和n的值，相加可得．

解答： 解：∵方程（x²+mx+2）（x²+nx+2）=0的四個根
是由x²+mx+2=0和x²+nx+2=0的根構(gòu)成的，
不妨設(shè)首項a₁=-

1

2

為x²+mx+2=0的一根，
則由韋達定理可得另一根為a₄=-4，
由等比數(shù)列的性質(zhì)可得x²+nx+2=0的兩根分別為a₂，a₃，
∴公比q=

3	-4 - 1 2

=2，∴a₂=-1，a₃=-2，
再由韋達定理可得-

1

2

-4=-m，-1-2=-n，
∴m=

9

2

，n=3，∴m+n=

15

2

故答案為：

15

2

．

點評：本題考查等比數(shù)列的通項公式和性質(zhì)，涉及韋達定理，屬中檔題．