Question

6．若方程ax²+3x+4a=0的根都小于1，則實數(shù)a的取值范圍是[0，$\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 分當a=0時、當a＞0時、當a＜0時三種情況，分別利用二次函數(shù)的性質求得a的范圍，再取并集，即得所求．

解答 解：當a=0時，方程即3x=0，求得 x=0，滿足條件．
當a＞0時，設f（x）=ax²+3x+4a，則由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{△=9-1{6a}^{2}≥0}\\{-\frac{3}{2a}＜1}\\{f（1）=3+5a＞0}\end{array}\right.$，求得0＜a≤$\frac{3}{4}$．
當a＜0時，設g（x）=ax²+3x+4a，則由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{△=9-1{6a}^{2}≥0}\\{-\frac{3}{2a}＜1}\\{g（1）=3+5a＜0}\end{array}\right.$，求得a∈∅．
綜上可得，a的范圍為[0，$\frac{3}{4}$]．

點評 本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關系，二次函數(shù)的性質，體現(xiàn)了轉化、分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎題．