Question

1．在三維空間直角坐標系中，對其中任何一向量$\overrightarrow{x}$=（x₁，x₂，x₃），定義范數(shù)||x||，它滿足以下性質(zhì)：
①|(zhì)|x||≥0，當且僅當x為零向量時，不等式取等號；
②對任意實數(shù)λ，||λx||=|λ|•||x||（注：此處點乘號為普通的乘號，無點乘意義）；
③||x||+||y||≥||x+y||．
試求解以下問題：
在二維平面直角坐標系中，有向量$\overrightarrow{x}$=（x₁，x₂），下面給出的幾個表達式中，可能表示向量$\overrightarrow{x}$的范數(shù)是②⑤（把所有正確的答案的序號都填上）．
①$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}}$+2x₂²；
②$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{2}}^{2}}$；
③$\sqrt{2{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}$；
④$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+2}$；
⑤$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}$．

Answer 1

分析 利用定義，對選項分別進行判斷，即可得出結論．

解答 解：由（1）知當且僅當X為零向量時，|X|=0 因此可以排除④．
$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}}$+2x₂²滿足||X||≥0，當且僅當X為零向量時，不等式取等號；但不滿足對任意的實數(shù)λ，||λX||=|λ|•||X||，故不正確；
$\sqrt{2{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}$滿足||X||≥0，當且僅當X為零向量時，不等式取等號；但不滿足對任意的實數(shù)λ，||λX||=|λ|•||X||，故不正確；
現(xiàn)在探索一下選擇支②是否滿足性質(zhì)（3），$\sqrt{{a}^{2}+2^{2}}$+$\sqrt{{m}^{2}+2{n}^{2}}$≥$\sqrt{（a+m）^{2}+2（b+n）^{2}}$?2abmn≤a²n²+b²m²這是顯然成立的，所以選擇支滿足性質(zhì)（3），又選擇支顯然滿足性質(zhì)（2）；所以選擇支能表示X的范數(shù)
同理可以知道⑤也可以表示向量X的范數(shù)．
所以經(jīng)過驗證后可以知道正確的是②⑤．
故答案為：②⑤．

點評 本題考查了新定義向量的范數(shù)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．