Question

4．已知x₁、x₂、x₃、x₄、x₅≥0，且$\sum_{i=1}^{5}$$\frac{1}{1+{x}_{i}}$=1，求證：$\sum_{i=1}^{5}$$\frac{{x}_{i}}{4+{{x}_{i}}^{2}}$≤1．

Answer 1

分析 找出等號(hào)成立的條件，當(dāng)x₁=x₂=…=x₅=4時(shí)，均成立；再由當(dāng)0＜x＜4時(shí)，或x＞4均有x+$\frac{4}{x}$＞4+1=5，運(yùn)用不等式的性質(zhì)即可得證．

解答 解：當(dāng)x₁=x₂=…=x₅=4時(shí)，
$\frac{1}{1+{x}_{1}}$+$\frac{1}{1+{x}_{2}}$+…+$\frac{1}{1+{x}_{5}}$=1，
$\frac{{x}_{1}}{4+{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{4+{{x}_{2}}^{2}}$+…+$\frac{{x}_{5}}{4+{{x}_{5}}^{2}}$=1；
由$\frac{x}{4+{x}^{2}}$=$\frac{1}{x+\frac{4}{x}}$，
當(dāng)0＜x＜4時(shí)，或x＞4均有x+$\frac{4}{x}$＞4+1=5，
即有$\frac{1}{x+\frac{4}{x}}$＜$\frac{1}{5}$，
則$\frac{{x}_{1}}{4+{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{4+{{x}_{2}}^{2}}$+…+$\frac{{x}_{5}}{4+{{x}_{5}}^{2}}$＜$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{5}$=1．
故不等式$\sum_{i=1}^{5}$$\frac{{x}_{i}}{4+{{x}_{i}}^{2}}$≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用等號(hào)成立的條件，以及函數(shù)的單調(diào)性，考查推理能力，屬于中檔題．