Question

14．我們把離心率為$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$的雙曲線叫做黃金雙曲線．如圖，黃金雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）的兩頂點為A₁，A₂，虛軸兩端點為B₁，B₂，兩焦點為F₁，F(xiàn)₂，若以A₁，A₂為直徑的圓內(nèi)切于菱形F₁B₁F₂B₂，切點分別為A，B，C，D，則菱形F₁B₁F₂B₂的面積S₁與矩形ABCD的面積S₂的比值$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}+2}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}-2}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

Answer 1

分析 菱形F₁B₁F₂B₂的面積S₁=2bc，求出矩形ABCD的長與寬，從而求出面積S₂=4mn=$\frac{4{a}^{2}bc}{^{2}+{c}^{2}}$，由此可得結(jié)論．

解答 解：菱形F₁B₁F₂B₂的面積S₁=2bc
設矩形ABCD，BC=2n，BA=2m，∴$\frac{m}{n}$=$\frac{c}$
∵m²+n²=a²，∴m=$\frac{ac}{\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}$，n=$\frac{ab}{\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}$
∴面積S₂=4mn=$\frac{4{a}^{2}bc}{^{2}+{c}^{2}}$．
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{^{2}+{c}^{2}}{2{a}^{2}}$=$\frac{^{2}+{c}^{2}}{2bc}$
∵bc=a²=c²-b²
∴b=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$c
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{\sqrt{5}+2}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查圓與圓錐曲線的綜合，考查雙曲線的性質(zhì)，面積的計算，解題的關(guān)鍵是確定幾何量之間的關(guān)系．