Question

8．如圖．在四棱錐P-ABCD中．底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)M為棱AB上一點(diǎn)AM=2MB．點(diǎn)N為棱PC上一點(diǎn)，
（1）若PN=2NC，求證：MN∥平面PAD；
（2）若MN∥平面PAD，求證：PN=2NC．

Answer 1

分析 （1）過N作NE∥CD交PD于E，連接AE，則NE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{2}{3}CD$，從而NE$\stackrel{∥}{=}$AM，于是四邊形AMNE是平行四邊形，得出MN∥AE，故而MN∥平面PAD；
（2）輔助線同（1），根據(jù)線面平行的性質(zhì)得出MN∥AE，故而四邊形AMNE是平行四邊形，于是AM=NE，從而$\frac{NE}{CD}=\frac{2}{3}$，于是$\frac{PN}{PC}=\frac{2}{3}$，得出結(jié)論．

解答 證明：（1）過N作NE∥CD交PD于E，連接AE．
則$\frac{EN}{CD}=\frac{PN}{PC}=\frac{2}{3}$，
∴EN=$\frac{2}{3}CD$，
又AM=2MB，
∴AM=$\frac{2}{3}AB$．
又AB$\stackrel{∥}{=}$CD，
∴AM$\stackrel{∥}{=}$EN，
∴四邊形AMNE是平行四邊形，
∴MN∥AE，又MN?平面PAD，AE?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（2）過N作NE∥CD交PD于E，
∵NE∥CD∥AB，
∴NE∥AB，
∴A，M，N，E四點(diǎn)共面，
∵M(jìn)N∥平面PAD，MN?平面AMNE，平面AMNE∩平面PAD=AE，
∴MN∥AE，
∴四邊形AMNE是平行四邊形，
∴NE=AM=$\frac{2}{3}AB$=$\frac{2}{3}$CD．
∴$\frac{PN}{PC}=\frac{NE}{CD}=\frac{2}{3}$，
∴PN=2NC．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．