6.設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F作x軸的垂線交雙曲線的右支于C,D兩點(diǎn),與雙曲線的漸近線交于點(diǎn)P,點(diǎn)C和點(diǎn)P在第-象限,點(diǎn)D在第四象限,若|PC|=|CD|,則該雙曲線的離心率為( 。
A.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$B.$\frac{3\sqrt{5}}{5}$C.$\frac{3\sqrt{2}}{4}$D.$\frac{9}{8}$

分析 將x=c分別代入雙曲線的漸近線方程和雙曲線的方程,可得|PC|,|CD|,由條件可得c=3b,再由a,b,c的關(guān)系和離心率公式,計(jì)算即可得到所求值.

解答 解:由F(c,0),令x=c代入雙曲線的方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1,
可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{^{2}}{a}$,
將x=c代入漸近線方程y=$\frac{a}$x,可得y=$\frac{bc}{a}$,
由|PC|=|CD|,可得$\frac{bc}{a}$-$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{2^{2}}{a}$,
即為c=3b,即有a=$\sqrt{{c}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{{c}^{2}-\frac{{c}^{2}}{9}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$a,
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$.
故選:C.

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法,注意運(yùn)用漸近線方程和離心率公式,考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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