3.在△ABC中,a、b、c分別為角A、B、C所對的邊,若$\frac{a}{cos\frac{A}{2}}$=$\frac{cos\frac{B}{2}}$=$\frac{c}{cos\frac{C}{2}}$,則此三角形的形狀為等邊三角形.

分析 $\frac{a}{cos\frac{A}{2}}$=$\frac{cos\frac{B}{2}}$=$\frac{c}{cos\frac{C}{2}}$,由正弦定理可得:$\frac{sinA}{cos\frac{A}{2}}$=$\frac{sinB}{cos\frac{B}{2}}$=$\frac{sinC}{cos\frac{C}{2}}$,再利用倍角公式可得;$sin\frac{A}{2}$=$sin\frac{B}{2}$=$sin\frac{C}{2}$.再利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

解答 解:在△ABC中,∵$\frac{a}{cos\frac{A}{2}}$=$\frac{cos\frac{B}{2}}$=$\frac{c}{cos\frac{C}{2}}$,由正弦定理可得:$\frac{sinA}{cos\frac{A}{2}}$=$\frac{sinB}{cos\frac{B}{2}}$=$\frac{sinC}{cos\frac{C}{2}}$,∴$sin\frac{A}{2}$=$sin\frac{B}{2}$=$sin\frac{C}{2}$.
∵$\frac{A}{2}$,$\frac{B}{2}$,$\frac{C}{2}$∈$(0,\frac{π}{2})$,
∴$\frac{A}{2}=\frac{B}{2}=\frac{C}{2}$,即A=B=C.
∴△ABC是等邊三角形.
故答案為:等邊三角形.

點評 本題考查了正弦定理、倍角公式、三角函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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