Question

15．△ABC的外接圓圓心為O，半徑為2，$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$為零向量，且|${\overrightarrow{OA}}$|=|${\overrightarrow{AB}}$|．則$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影為（　　）

• A． -3
• B． $-\sqrt{3}$
• C． 3
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)條件容易得到$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}$，再根據(jù)O為△ABC的外心，從而得到OA，BC互相垂直平分，從而四邊形OBAC為菱形，進(jìn)而可得出AC=2，∠ACB=30°，這樣由一個向量在另一個向量方向上投影的計算公式即可得出所求投影的值．

解答 解：$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{0}$；
∴$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}$；
又O為△ABC的外心；
∴OA⊥BC，且OA平分BC；
∴OA，BC互相垂直平分，連接OB，OC，則四邊形OBAC為菱形，如圖所示：

則AC=OA=2，∠ACB=30°；
∴$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影為$|\overrightarrow{CA}|cos＜\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{BC}＞=2cos150°=-\sqrt{3}$．
故選：B．

點評 考查三角形外接圓及外心的概念，向量加法、減法的幾何意義，以及向量的數(shù)乘運算，向量加法的平行四邊形法則，菱形的概念，菱形對角線的性質(zhì)，一個向量在另一個向量方向上投影的定義及計算公式．