Question

13．已知圓x²+y²=8內(nèi)有一點(diǎn)M（-1，2），AB為經(jīng)過點(diǎn)M且傾斜角為α的弦．
（1）當(dāng)弦AB被點(diǎn)M平分時(shí)，求直線AB的方程；
（2）當(dāng)α=$\frac{3π}{4}$時(shí)，求弦AB的長．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)弦AB被點(diǎn)M平分時(shí)，OM⊥AB，求出直線斜率即可求直線AB的方程；
（2）當(dāng)α=$\frac{3π}{4}$時(shí)，求出直線斜率和方程，根據(jù)直線與圓相交的弦長公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)弦AB被點(diǎn)M平分時(shí)，OM⊥AB，${k_{OM}}=\frac{2}{-1}=-2$，
直線AB的斜率$k=\frac{1}{2}$．所以直線AB的方程為：$y-2=\frac{1}{2}（x+1）$，即x-2y+5=0…（4分）
（2）當(dāng)$α=\frac{3π}{4}$時(shí)，直線AB的斜率$k=tanα=tan\frac{3π}{4}=-1$，
直線AB的方程為：y-2=-1•（x+1），即x+y-1=0．…（6分）
圓心O（0，0）到直線x+y-1=0的距離為$d=\frac{|-1|}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，…（8分）
所以弦AB的長$|AB|=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=\sqrt{30}$．…（10分）

點(diǎn)評 本題主要考查直線和圓相交的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及弦長公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力．