Question

10．已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，且不恒為0，且對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）的值；
（2）判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性；
（3）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，判斷函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法令x=y=0即可得到結(jié)論．
（2）利用函數(shù)奇偶性的定義，結(jié)合抽象函數(shù)，證明f（x）為奇函數(shù)；
（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義結(jié)合抽象函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行證明即可．

解答 解：（1）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．
（2）令y=-x，則f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，
即f（-x）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（3）設(shè)x₁＞x₂，則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂），
∵x₁＞x₂，
∴x₁-x₂＞0，
則f（x₁-x₂）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），即函數(shù)為減函數(shù)．

點(diǎn)評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用條件證明函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．