Question

8．在數(shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{1}{2}{a}_{n}$+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
（1）設b_n=2ⁿa_n，證明：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可得2ⁿ⁺¹a_n+1=2ⁿa_n+1，即有b_n+1=b_n+1，由等差數(shù)列的定義即可得證；
（2）求得a_n=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，再由數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（1）證明：a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{1}{2}{a}_{n}$+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
可得2ⁿ⁺¹a_n+1=2ⁿa_n+1，
即有b_n+1=b_n+1，
則數(shù)列{b_n}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列；
（2）由（1）可得b_n=1+n-1=n，
即2ⁿa_n=n，即有a_n=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
則前n項和S_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{4}$+3•$\frac{1}{8}$+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$S_n=1•$\frac{1}{4}$+2•$\frac{1}{8}$+3•$\frac{1}{16}$+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
兩式相減可得，$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
化簡可得S_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的定義和通項公式的運用，考查構造法和數(shù)列的求和方法：錯位相減法，同時考查等比數(shù)列的求和公式的運用，屬于中檔題．