Question

18．設(shè)奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，且$f（{\sqrt{3}}）=0$，則不等式x[f（x）-f（-x）]＜0的解集為（　�。�

• A． $（{-\sqrt{3}，0}）∪（{\sqrt{3}，+∞}）$
• B． $（{-\sqrt{3}，0}）∪（{0，\sqrt{3}}）$
• C． $（{-∞，-\sqrt{3}}）∪（{0，\sqrt{3}}）$
• D． $（{-∞，-\sqrt{3}}）∪（{\sqrt{3}，+∞}）$

Answer 1

分析 根據(jù)條件可以得到f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，且$f（-\sqrt{3}）=0$，f（x）為奇函數(shù)，便有f（-x）=-f（x），從而不等式x[f（x）-f（-x）]＜0可變成xf（x）＜0，從而可得到$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜f（\sqrt{3}）}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞f（-\sqrt{3}）}\end{array}\right.$，根據(jù)f（x）的單調(diào)性便可解出這兩個不等式組，從而便求出原不等式的解集．

解答 解：f（x）為奇函數(shù)，在（0，+∞）上為增函數(shù)；
∴f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)；
∵f（$\sqrt{3}$）=0，∴$f（-\sqrt{3}）=0$；
由x[f（x）-f（-x）]＜0得，2xf（x）＜0；
∴xf（x）＜0；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$；
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜f（\sqrt{3}）}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞f（-\sqrt{3}）}\end{array}\right.$；
根據(jù)f（x）的單調(diào)性解得$0＜x＜\sqrt{3}$，或$-\sqrt{3}＜x＜0$；
∴原不等式的解集為$（-\sqrt{3}，0）∪（0，\sqrt{3}）$．
故選：B．

點評 考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性特點，兩個因式乘積的不等式轉(zhuǎn)化成不等式組求解的方法，根據(jù)增函數(shù)的定義解不等式的方法．