Question

3．已知點A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（1，1），若平面區(qū)域Ω由滿足$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AD}$（$\frac{1}{2}$≤λ≤1，
0≤μ≤1）的點P組成，現(xiàn)從梯形平面區(qū)域ABCD內(nèi)任取一點M，則點M落在區(qū)域Ω內(nèi)的概率為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 設P的坐標為（x，y），根據(jù)$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AD}$，結(jié)合向量的坐標運算解出$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{x-y}{2}}\\{μ=y}\end{array}\right.$，再由$\frac{1}{2}$≤λ≤1，0≤μ≤1得到關(guān)于x、y的不等式組，求出相應的面積，即可求出點M落在區(qū)域Ω內(nèi)的概率．

解答 解：設P的坐標為（x，y），則
$\overrightarrow{AB}$=（2，0），$\overrightarrow{AD}$=（1，1），$\overrightarrow{AP}$=（x，y）
∵$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AD}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2λ+μ}\\{y=μ}\end{array}\right.$，解之得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{x-y}{2}}\\{μ=y}\end{array}\right.$
∵$\frac{1}{2}$≤λ≤1，0≤μ≤1，
∴點P坐標滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{1≤x-y≤2}\\{0≤y≤1}\end{array}\right.$
作出不等式組對應的平面區(qū)域，如圖陰影所示，面積為$\frac{1}{2}×1×1$=0.5．
梯形平面區(qū)域ABCD的面積為$\frac{1+2}{2}×1$=1.5
∴點M落在區(qū)域Ω內(nèi)的概率為$\frac{0.5}{1.5}$=$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題在平面坐標系內(nèi)給出向量等式，求點M落在區(qū)域Ω內(nèi)的概率．著重考查了平面向量的坐標運算、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域等知識，屬于中檔題．