Question

15．已知函數(shù)f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x），（a＞0，a≠1）．
（1）求F（x）=f（x）+g（x）的定義域，
（2）設(shè)a=2，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇3，63]，求f（x）的最值，
（3）求使f（x）-g（x）＞0的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)有意義的條件，求F（x）=f（x）+g（x）的定義域，
（2）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=log_a（1+x）在[3，63]上為增函數(shù)，即可求f（x）的最值，
（3）f（x）-g（x）＞0即f（x）＞g（x，分類(lèi)討論，即可求使f（x）-g（x）＞0的x的取值范圍．

解答 解：（1）要使F（x）有意義，須$\left\{\begin{array}{l}1+x＞0\\ 1-x＞0\end{array}\right.$，∴-1＜x＜1，
∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1）…（3分）
（2）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=log_a（1+x）在[3，63]上為增函數(shù)，因此當(dāng)x=3時(shí)，f（x）有最小值為2，當(dāng)x=63時(shí)，f（x）有最大值為6．…（7分）
（3）f（x）-g（x）＞0即f（x）＞g（x），
當(dāng)a＞1時(shí)，log_a（1+x）＞log_a（1-x），滿足$\left\{\begin{array}{l}1+x＞1-x\\ 1+x＞0\\ 1-x＞0\end{array}\right.$，所以0＜x＜1，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，log_a（1+x）＞log_a（1-x），滿足$\left\{\begin{array}{l}1+x＜1-x\\ 1+x＞0\\ 1-x＞0\end{array}\right.$，所以-1＜x＜0，
綜上，a＞1時(shí)，解集為{x|0＜x＜1}，0＜a＜1時(shí)，解集為{x|-1＜x＜0}．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．