Question

1．己知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，O為原點(diǎn)，在橢圓上存在一個(gè)點(diǎn)P使得△OFP為等邊三角形，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$-1
• B． 2-$\sqrt{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}-1$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}-1$

Answer 1

分析 把x=$\frac{c}{2}$代入橢圓方程可得：$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，解得y_P．由于△OFP為等邊三角形，可得y_P=$\sqrt{3}×\frac{c}{2}$．化簡(jiǎn)即可得出．

解答 解：把x=$\frac{c}{2}$代入橢圓方程可得：$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，解得y=±$\frac{2a}\sqrt{4{a}^{2}-{c}^{2}}$．
∵△OFP為等邊三角形，
∴$\frac{2a}\sqrt{4{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}×\frac{c}{2}$．
化為：e⁴-8e²+4=0，0＜e＜1．
解得e²=4-2$\sqrt{3}$，解得e=$\sqrt{3}$-1．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．