Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=x³（x∈R），當(dāng)0≤θ≤$\frac{π}{2}$時，f（cos²θ+2msinθ）+f（-2m-2）＜0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． （0，1）
• B． （-$\frac{1}{2}$，1）
• C． （-∞，1）
• D． （-$\frac{1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 可判斷函數(shù)f（x）=x³是R上的奇函數(shù)，從而可得f（cos²θ+2msinθ）＜f（2m+2），從而由單調(diào)性可得cos²θ+2msinθ＜2m+2，從而可得2m＞-$\frac{1+si{n}^{2}θ}{1-sinθ}$，從而化為最值問題．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x³是R上的奇函數(shù)，
∴f（-2m-2）=-f（2m+2），
∵f（cos²θ+2msinθ）+f（-2m-2）＜0，
∴f（cos²θ+2msinθ）-f（2m+2）＜0，
∴f（cos²θ+2msinθ）＜f（2m+2），
又∵函數(shù)f（x）=x³是R上的增函數(shù)，
∴cos²θ+2msinθ＜2m+2，
即2m-2msinθ＞cos²θ-2，
即2m（1-sinθ）＞-（1+sin²θ），
當(dāng)θ=$\frac{π}{2}$時，sinθ=1，故成立；
當(dāng)0≤θ＜$\frac{π}{2}$時，可化為2m＞-$\frac{1+si{n}^{2}θ}{1-sinθ}$，
令t=1-sinθ，則sinθ=1-t，0＜t≤1，
故-$\frac{1+si{n}^{2}θ}{1-sinθ}$=-$\frac{1+（1-t）^{2}}{t}$=-（t+$\frac{2}{t}$-2）
=2-（t+$\frac{2}{t}$），
∵0＜t≤1，∴t+$\frac{2}{t}$≥3，
∴2-（t+$\frac{2}{t}$）≤-1，
2m＞-1，
故m＞-$\frac{1}{2}$；
故選D．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用及恒成立問題與最值問題的應(yīng)用．