Question

已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3，g(x)＝(6＋a)·2x－1.

(1)若f(1)＝f(3)，求實數(shù)a的值；

(2)在(1)的條件下，判斷函數(shù)F(x)＝的單調(diào)性，并給出證明；

(3)當x∈[－2,2]時，f(x)≥a(a∉(－4,4))恒成立，求實數(shù)a的最小值．

Answer 1

解：　(1)∵f(1)＝f(3)，

∴函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸方程為x＝2，

即－＝2，故a＝－4.

(2)由(1)知，g(x)＝(6－4)·2x－1＝2x，

F(x)＝(x∈R)

函數(shù)F(x)在R上是減函數(shù)

設(shè)x1，x2∈R，且x1<x2.

∴Δx＝x2－x1>0，

Δy＝F(x2)－F(x1)＝

根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)及x1<x2，得2 x1－2 x2<0，

由上式得Δy<0，

所以F(x)在R上是減函數(shù)．

(3)f(x)＝x2＋ax＋3＝(x＋)2＋3－，x∈[－2,2]，

又a∉(－4,4)，故－∉(－2,2)．

①當－≥2，即a≤－4時，

f(x)在[－2,2]上單調(diào)遞減，

f(x)min＝f(2)＝7＋2a，故7＋2a≥a，即a≥－7.

所以－7≤a≤－4.

②當－≤－2，即a≥4時，

f(x)在[－2,2]上單調(diào)遞增，

f(x)min＝f(－2)＝7－2a，故7－2a≥a，即a≤，

這與a≥4矛盾，故此情形不存在．

因此，實數(shù)a的最小值為－7.