Question

2．已知：函數(shù)f（x）=e^x-x-1，g（x）=ax+xcosx+1
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）證明：a＞-2時，存在x₀∈（0，1），使g（x）＞$\frac{1}{{e}^{x}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，利h（x）=g（x）-$\frac{1}{{e}^{x}}$．x∈（0，1），用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系得到h（x）在（0，1）為增函數(shù)，問題得以證明．

解答 解：（1）f（x）=e^x-x-1，
∴f′（x）=e^x-1，
當(dāng)f′（x）＞0時，即x＞0時，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時，即x＜0時，函數(shù)單調(diào)遞減，
故函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，再（0，+∞）上單調(diào)遞減；
（Ⅱ）證明：設(shè)h（x）=g（x）-$\frac{1}{{e}^{x}}$．x∈（0，1）
∴h′（x）=a+cosx-xsinx+$\frac{1}{{e}^{x}}$，
再設(shè)G（x）=a+cosx-xsinx+$\frac{1}{{e}^{x}}$，x∈（0，1）
∴G′（x）=-2sinx+xcosx-$\frac{1}{{e}^{x}}$＜0在（0，1）上恒成立，
∴G（x）在（0，1）為減函數(shù)，
∴G（x）＜G（0）=a+1+1=a+2＞0，
∴h′（x）＞0，在（0，1）上恒成立，
∴h（x）在（0，1）為增函數(shù)，
∴h（x）＞h（0）=1-1=0
∴當(dāng)a＞-2時，存在x₀∈（0，1），使g（x）＞$\frac{1}{{e}^{x}}$．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性、最值的關(guān)系，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，屬于中檔題．