Question

17．已知a∈R，若f（x）=（x+$\frac{a}{x}$）e^x在區(qū)間（0，1）上只有一個(gè)極值點(diǎn)，則a的取值范圍為（　　）

• A． a＞0
• B． a≤1
• C． a＞1
• D． a≤0

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用極值、函數(shù)單調(diào)性，即可確定a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=（x+$\frac{a}{x}$）e^x，
∴f′（x）=（$\frac{{x}^{3}+{x}^{2}+ax-a}{{x}^{2}}$）e^x，
設(shè)h（x）=x³+x²+ax-a，
∴h′（x）=3x²+2x+a，
a＞0，h′（x）＞0在（0，1）上恒成立，即函數(shù)h（x）在（0，1）上為增函數(shù)，
∵h(yuǎn)（0）=-a＜0，h（1）=2＞0，
∴h（x）在（0，1）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)x₀，使得f′（x₀）=0，
且在（0，x₀）上，f′（x）＜0，在（x₀，1）上，f′（x）＞0，
∴x₀為函數(shù)f（x）在（0，1）上唯一的極小值點(diǎn)；
a=0時(shí)，x∈（0，1），h′（x）=3x²+2x＞0成立，函數(shù)h（x）在（0，1）上為增函數(shù)，
此時(shí)h（0）=0，∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，
即f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，1）上為單調(diào)增函數(shù)，函數(shù)f（x）在（0，1）上無極值；
a＜0時(shí)，h（x）=x³+x²+a（x-1），
∵x∈（0，1），∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，
即f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，1）上為單調(diào)增函數(shù)，函數(shù)f（x）在（0，1）上無極值．
綜上所述，a＞0．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．