Question

12．已知對任意的m∈[$\frac{1}{2}$，3），不等式x²+mx+4＞2m+4x恒成立，則x的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-1]∪（2，+∞）
• B． （-∞，-3）
• C． （-∞，-1]∪[2，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 問題轉(zhuǎn)化為對任意的m∈[$\frac{1}{2}$，3），不等式（x-2）m+（x-2）²＞0恒成立，通過討論x的范圍，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)，從而求出答案．

解答 解：對任意的m∈[$\frac{1}{2}$，3），不等式x²+mx+4＞2m+4x恒成立，
?對任意的m∈[$\frac{1}{2}$，3），不等式（x-2）m+（x-2）²＞0恒成立，
令f（m）=（-2）m+（x-2）²，則f（m）是關(guān)于m的一次函數(shù)，一次項系數(shù)k=（x-1），
①x-2=0，即x=2時，不成立，
②x-2＞0，即x＞2時，對任意的m∈[$\frac{1}{2}$，3），f（m）=（x-2）m+（x-2）²＞0恒成立，
③x-2＜0，即x＜2時，若對任意的m∈[$\frac{1}{2}$，3），f（m）=（x-2）m+（x-2）²＞0恒成立，
只需3（x-2）+（x-2）²≥0，解得：x≤-1，
綜上：x＞2或x≤-1，
故選：A．

點評 本題考查了函數(shù)恒成立問題，一次函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，是一道中檔題．