Question

19．設(shè)F（c，0）為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點，點B的坐標(biāo)為（0，b）．若圓（x-c）²+y²=r²（r＞0）與雙曲線的漸近線相切，且|FB|≥$\sqrt{3}$r，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（　　）

• A． $（1，\sqrt{2}]$
• B． $[\sqrt{2}，+∞）$
• C． $（1，\sqrt{3}]$
• D． $[\sqrt{3}，+∞）$

Answer 1

分析 利用圓（x-c）²+y²=r²（r＞0）與雙曲線的漸近線相切，可得r=b，利用|FB|≥$\sqrt{3}$r，即可求出雙曲線的離心率e的取值范圍．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為bx-ay=0，
因為圓（x-c）²+y²=r²（r＞0）與雙曲線的漸近線相切，
所以$\frac{|bc|}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=r，所以r=b，
因為|FB|≥$\sqrt{3}$r，
所以$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$≥$\sqrt{3}$b，
所以$\frac{1}{2}$c²≥b²，
所以$\frac{1}{2}$c²≥c²-a²，
因為e＞1，所以1＜e≤$\sqrt{2}$．
故選：A．

點評 熟練掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的漸近線方程、圓與直線相切的性質(zhì)、點到直線的距離公式是解題的關(guān)鍵．