Question

9．已知某幾何體的直觀圖（圖1）與它的三視圖（圖2），其中俯視圖為正三角形，其它兩個視圖是矩形，已知D是棱A₁C₁的中點．
（1）求證：BC₁∥平面AB₁D
（2）求二面角B₁-AD-B的余弦值．

Answer 1

分析 由三視圖可知：該幾何體是一個正三棱柱，底面是高為$\sqrt{3}$的正三角形，三棱柱的高為h=3．
（1）利用三角形的中位線定理和線面平行的判定定理即可證明；
（2）通過建立空間直角坐標系，利用兩平面的法向量的夾角即可得到兩平面所成的銳二面角的余弦值．

解答 （1）證明：由三視圖可知：該幾何體是一個正三棱柱，底面是高為$\sqrt{3}$的正三角形，三棱柱的高為h=3．
連接A₁B交AB₁于點E，連接DE，由矩形ABB₁A₁，可得A₁E=EB．
又∵D是這個幾何體的棱A₁ C₁的中點，∴ED是三角形A₁BC₁的中位線，∴ED∥BC₁
∵BC₁?平面AB₁D，OD?平面AB₁D，∴BC₁∥平面AB₁D．
（2）解：在平面ABC內(nèi)作AN⊥AB，分別以AB，AN，AA₁為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．
則A（0，0，0），B₁（2，0，3），D（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，3），B（2，0，0）．
∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（2，0，3），$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，3），．
設(shè)平面AB₁D的法向量為$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{2a+3c=0}\\{\frac{1}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}b+3c=0}\end{array}\right.$，令a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，-$\frac{2}{3}$）．
同理平面ABD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，-6，$\sqrt{3}$）．
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\sqrt{130}}{13}$．

點評 由三視圖可得出該幾何體是一個正三棱柱，熟練掌握三角形的中位線定理和線面平行的判定定理、通過建立空間直角坐標系并利用兩平面的法向量的夾角求得兩平面所成的銳二面角的余弦值是解題的關(guān)鍵．