Question

8．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁（側(cè)棱垂直于底面）的各頂點(diǎn)都在球O的球面上，且$AB=AC=BC=\sqrt{3}$若三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積等于$\frac{9}{2}$，則球O的體積為$\frac{32π}{3}$．

Answer 1

分析 利用直三棱柱的幾何性質(zhì)得出：△ABC外接圓的半徑r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$=1，根據(jù)球的幾何性質(zhì)得出外接球的半徑R²=（d）²+（r）²=4，利用球的體積公式求解即可．

解答 解；∵$AB=AC=BC=\sqrt{3}$，
∴△ABC外接圓的半徑r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$=1，
∵S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$\sqrt{3}$）²=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
∴$\frac{3\sqrt{3}}{4}$h=$\frac{9}{2}$，h=2$\sqrt{3}$，
∵球心到截面的距離d=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
∴外接球的半徑R²=（$\sqrt{3}$）²+（1）²=4，R=2，
∴球O的體積為：$\frac{4π×{R}^{3}}{3}$=$\frac{32π}{3}$

故答案為：$\frac{32π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了空間幾何體的性質(zhì)，空間思維能力，利用圖形轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解，結(jié)合體積公式求解即可．