Question

9．在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，且邊AC=2，則$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的最大值為（　�。�

• A． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$+2
• B． 4
• C． 4-$\sqrt{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$+1

Answer 1

分析 根據(jù)條件可得到B=$\frac{π}{3}$，也就是B為銳角，根據(jù)數(shù)量積的計(jì)算公式即可得到$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2|\overrightarrow{AB}|cosA$，結(jié)合$|\overrightarrow{AB}|cosA$的幾何意義即可知道當(dāng)AC⊥BC時(shí)$|\overrightarrow{AB}|cosA$取到最大值2，這樣即可得出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的最大值．

解答 解：A、B、C成等差數(shù)列；
∴2B=A+C；
又A+B+C=π；
3B=π，B=$\frac{π}{3}$；
$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cosA=2|\overrightarrow{AB}|cosA$；
如圖，過(guò)B作BD⊥AC，垂足為D，則：
由圖可看出$|\overrightarrow{AB}|cosA=AD$；
只有當(dāng)D和C點(diǎn)重合時(shí)，$|\overrightarrow{AB}|cosA$取到最大值A(chǔ)C=2；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的最大值為4．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 考查等差數(shù)列的定義，向量數(shù)量積的計(jì)算公式，余弦函數(shù)的定義，以及數(shù)形結(jié)合解題的方法．