Question

14．解關(guān)于x的不等式
（1）|x-3|+|x|＞4
（2）ax²-（a+1）x+1＜0（a∈R）

Answer 1

分析 （1）由條件利用絕對(duì)值的意義，求得|x-3|+|x|＞4的解集．
（2）分當(dāng)a=0時(shí)、當(dāng)0＜a＜1時(shí)、當(dāng)a=1時(shí)、當(dāng)a＞1時(shí)四種情況，分別求得原不等式的解集．

解答 解：（1）由于|x-3|+|x|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到3、0對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
而-$\frac{1}{2}$和$\frac{7}{2}$對(duì)應(yīng)點(diǎn)到3、0對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于4，故|x-3|+|x|＞4的解集為$（-∞，-\frac{1}{2}）∪（\frac{7}{2}，+∞）$．
（2）當(dāng)a=0時(shí)，不等式ax²-（a+1）x+1＜0，即-x+1＜0，求得它的解集為（1，+∞）；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式ax²-（a+1）x+1＜0，即 （ax-1）（x-1）＜0，故它的解集為$（1，\frac{1}{a}）$；
當(dāng)a=1時(shí)，不等式ax²-（a+1）x+1＜0，即 x²-2x+1＜0，即 （x-1）²＜0，它的解集為∅；
當(dāng)a＞1時(shí)，不等式ax²-（a+1）x+1＜0，即（ax-1）（x-1）＜0，故它的解集解集為 $（-∞，\frac{1}{a}）∪（1，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．