Question

10．某校就開展“學(xué)習(xí)習(xí)慣養(yǎng)成”教育活動(dòng)的情況進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽取了16名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，用“10分制”以莖葉圖方式記錄了他們的測(cè)試分?jǐn)?shù)（如圖），若所得分?jǐn)?shù)不低于9.5分，則稱該學(xué)生“學(xué)習(xí)習(xí)慣非常好”．
（1）現(xiàn)從這16人中隨機(jī)選取3人，求至少有1人“學(xué)習(xí)習(xí)慣非常好”的概率；
（2）以這16人的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該所學(xué)校學(xué)生的總體數(shù)據(jù)，若從該學(xué)校（人數(shù)很多）任選3人，記X表示抽到“學(xué)習(xí)習(xí)慣非常好”的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

分析 （1）由莖葉圖得這16人中，“學(xué)習(xí)習(xí)慣非常好”的人數(shù)為4人，現(xiàn)從這16人中隨機(jī)選取3人，利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出至少有1人“學(xué)習(xí)習(xí)慣非常好”的概率．
（2）以這16人的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該所學(xué)校學(xué)生的總體數(shù)據(jù)，則“學(xué)習(xí)習(xí)慣非常好”的概率為$\frac{1}{4}$，從該學(xué)校（人數(shù)很多）任選3人，記X表示抽到“學(xué)習(xí)習(xí)慣非常好”的人數(shù)，則X～B（3，$\frac{1}{4}$），由此能求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX．

解答 解：（1）由莖葉圖得這16人中，“學(xué)習(xí)習(xí)慣非常好”的人數(shù)為4人，
∴現(xiàn)從這16人中隨機(jī)選取3人，
至少有1人“學(xué)習(xí)習(xí)慣非常好”的概率P=1-$\frac{{C}_{12}^{3}}{{C}_{16}^{3}}$=$\frac{17}{28}$．
（2）以這16人的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該所學(xué)校學(xué)生的總體數(shù)據(jù)，則“學(xué)習(xí)習(xí)慣非常好”的概率為$\frac{1}{4}$，
從該學(xué)校（人數(shù)很多）任選3人，記X表示抽到“學(xué)習(xí)習(xí)慣非常好”的人數(shù)，則X～B（3，$\frac{1}{4}$），
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{3}{4}）^{3}$=$\frac{27}{64}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{4}）（\frac{3}{4}）^{2}$=$\frac{27}{64}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{4}）^{2}（\frac{3}{4}）$=$\frac{9}{64}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{4}）^{3}$=$\frac{1}{64}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

EX=$0×\frac{27}{64}+1×\frac{27}{64}+2×\frac{9}{64}+3×\frac{1}{64}$=$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列的數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．