Question

已知函數(shù)f（x）是定義在[-3，3]上的奇函數(shù)，且f（x）在（0，1]是指數(shù)函數(shù)，在[1，3]上是二次函數(shù)，當1≤x≤3時f（x）≤f（2）=

3

2

，f（3）=

1

2

，求f（x）的解析式．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)奇偶性的性質

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用

分析：由題意，根據(jù)題意分段求出各段的解析式，再由奇偶性求對稱區(qū)間上的解析式，從而解得．

解答： 解：（1）當1≤x≤3時，
f(x)≤f(2)=

3

2

，f(3)=

1

2

，
∴設f(x)=m(x-2)2+

3

2

，
∵f(3)=

1

2

∴m=-1，
∴f(x)=-(x-2)2+

3

2

(1≤x≤3)，
（2）當0＜x≤1時，
設f（x）=a^x且f(1)=

1

2

∴a=

1

2

，
∴f(x)=(

1

2

)x(0＜x≤1)，
f（x）是定義在[-3，3]上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），f（0）=0，
（3）當-1≤x＜0時，則0＜-x≤1，
f（x）=-f（-x）=-2^x，
（4）當-3≤x≤-1時，則1≤-x≤3，
f(x)=-f(-x)=(x+2)2-

3

2

，
∴f（x）=

(x+2)2- 3 2 ，-3≤x≤-1 -2x，-1≤x＜0 0，x=0 1 2x ，0＜x≤1 -(x-2)+ 3 2 ，1≤x≤3

．

點評：本題考查了函數(shù)解析式的求法，同時考查了分類討論的數(shù)學思想應用，屬于中檔題．