Question

6．已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD為正方形，AA₁⊥AC，M、N分別為棱AA₁、CC₁的中點(diǎn)．
（1）求證：直線MN⊥平面B₁BD；
（2）已知AA₁=AB，AA₁⊥AB，取線段C₁D₁的中點(diǎn)Q，求二面角Q-MD-N的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明．
（2）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可．

解答 （1）證明：∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD為正方形，AA₁⊥AC，
∵M(jìn)、N分別為棱AA₁、CC₁的中點(diǎn)，
∴MN∥AC，
∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∴MN⊥BD，
∵BB₁⊥AC，
∴MN⊥BB₁，
∵BB₁∩BD=B，
∴MN⊥平面BB₁D．
（2）∵AA₁⊥AB，
∴四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸，如圖建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)棱長為2，
則M（2，0，1），D（0，0，0），N（0，2，1），Q（0，1，2），
易求得面MDN的一個(gè)法向量為$\overrightarrow n=（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，-1）$，
則面QMD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow m=（\frac{1}{2}，2，-1）$，
則$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow m＞=\frac{{3\sqrt{14}}}{14}$，
所以二面角Q-MD-N的余弦值為$\frac{{3\sqrt{14}}}{14}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間線面垂直的判定，以及二面角的求解，根據(jù)線面垂直的判定定理以及建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量是解決本題的關(guān)鍵．