Question

從某學(xué)校的800名男生中隨機(jī)抽取50名測量身高，被測學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組[155，160），第二組[160，165），…，第八組[190，195]，右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為4人．
（Ⅰ）求第七組的頻率；
（Ⅱ）估計該校的800名男生的身高的中位數(shù)以及身高在180cm以上（含180cm）的人數(shù)；
（Ⅲ）若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生，記他們的身高分別為x，y，事件E={|x-y|≤5}，事件F={|x-y|＞15}，求P（E∪F）．

Answer 1

考點：頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）求出第六組的頻率，利用各小組的頻率和等于1，求出第七組的頻率；
（Ⅱ）根據(jù)各小組的頻率以及中位數(shù)的概念，求出中位數(shù)的大小，再求出身高在180cm以上（含180cm）的頻率與對應(yīng)人數(shù)；
（Ⅲ）求出第六組、第八組的人數(shù)，從中隨機(jī)抽取2人的基本事件數(shù)，事件E、F的概率P（E）、P（F），再求出P（E∪F）的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵第六組的頻率為

4

50

=0.08，
∴第七組的頻率為
1-（0.008×5×2+0.016×5+0.04×5×2+0.06×5+0.08）=0.06 …（4分）
（Ⅱ）身高在第一組[155，160）的頻率為0.008×5=0.04，
身高在第二組[160，165）的頻率為0.016×5=0.08，
身高在第三組[165，170）的頻率為0.04×5=0.20，
身高在第四組[170，175）的頻率為0.04×5=0.20，
由于0.04+0.08+0.20+0.20=0.52＞0.5，0.52-0.50=0.02，
且

0.02

0.2

=

1

10

，5×

1

10

=0.5，∴170+0.5=170.5；
∴估計這所學(xué)校的800名男生的身高的中位數(shù)為170.5cm；（6分）
由直方圖得后三組頻率分別為0.08、0.06、0.04，
∴身高在180cm以上（含180cm）的人數(shù)為800×（0.08+0.06+0.04）=144； …（8分）
（Ⅲ）第六組的人數(shù)為4人，第八組的人數(shù)為2人，從中隨機(jī)抽取2人，共有

C

2 6

=15種情況，
∵事件E={|x-y|≤5}發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)隨機(jī)抽取的2名男生在同一組，
∴事件E包含的基本事件為

C

2 4

+

C

2 2

=7共7種情況，∴P（E）=

7

15

；…（10分）
由于195-180=15，所以事件F={|x-y|＞15}是不可能事件，∴P（F）=0；
由于事件E和事件F是互斥事件，∴P（E∪F）=P（E）+P（F）=

7

15

．…（12分）

點評：本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了互斥事件的概率問題，是綜合題目．