【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，，，點為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】

（1）求出和的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)勾股定理可證，又是正三角形，所以，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，可證平面；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量所成的余弦值，從而可以求出平面與平面所成二面角的正弦值.

（1）證明：連結(jié)，，因為底面為菱形，，

故，又為的中點，故.

在中，，為的中點，所以.

設(shè)，則，，

因為，

所以.（也可通過來證明），

又因為，平面，平面，

所以平面；

（2）因為，，

，

所以平面，又平面，所以.

由（1）得平面，又平面，故有，又由，

所以，，所在的直線兩兩互相垂直.

故以為坐標(biāo)原點，以，，所在直線為軸，軸，軸如圖建系.

設(shè)，則，，，.

所以，，，

由（1）知平面，

故可以取與平行的向量作為平面的法向量.

設(shè)平面的法向量為，則，

令，所以.

設(shè)平面與平面所成二面角為，而

則，所以平面與平面所成二面角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】汽車智能輔助駕駛已得到廣泛應(yīng)用，其自動剎車的工作原理是用雷達(dá)測出車輛與前方障礙物之間的距離（并結(jié)合車速轉(zhuǎn)化為所需時間），當(dāng)此距離等于報警距離時就開始報警提醒，等于危險距離時就自動剎車，某種算法（如下圖所示）將報警時間劃分為4段，分別為準(zhǔn)備時間、人的反應(yīng)時間、系統(tǒng)反應(yīng)時間、制動時間，相應(yīng)的距離分別為、、、，當(dāng)車速為（米/秒），且時，通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析得到下表（其中系數(shù)隨地面濕滑成都等路面情況而變化，）.

階段

0、準(zhǔn)備

1、人的反應(yīng)

2、系統(tǒng)反應(yīng)

3、制動

時間

秒

秒

距離

米

米

（1）請寫出報警距離（米）與車速（米/秒）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求時，若汽車達(dá)到報警距離時人和系統(tǒng)均不采取任何制動措施，仍以此速度行駛，則汽車撞上固定障礙物的最短時間（精確到0.1秒）；

（2）若要求汽車不論在何種路面情況下行駛，報警距離均小于80米，則汽車的行駛速度應(yīng)限制在多少米/秒以下？合多少千米/小時？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到的圖象，若的對稱中心為坐標(biāo)原點，則關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：

①的最小正周期為 ②若的最大值為2，則

③在有兩個零點 ④在區(qū)間上單調(diào)

其中所有正確結(jié)論的標(biāo)號是（ ）

A.①③④B.①②④C.②④D.①③

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若曲線的極坐標(biāo)方程為，點的極坐標(biāo)為，在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點，且傾斜角為.

（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程以及點的直角坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線與曲線相交于，兩點，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為.

(1)求函數(shù)的表達(dá)式及其周期；

(2)求函數(shù)在上的對稱軸、對稱中心及其單調(diào)增區(qū)間.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線參數(shù)方程為為參數(shù))，將曲線上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>，得到曲線.

（1）求曲線的普通方程；

（2）過點且傾斜角為的直線與曲線交于兩點，求取得最小值時的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量，設(shè)，向量．

（1）若，求向量與的夾角；

（2）若 對任意實數(shù)都成立，求實數(shù)的取值范圍．

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【題目】某省新課改后某校為預(yù)測2020屆高三畢業(yè)班的本科上線情況，從該校上一屆高三（1）班到高三（5）班隨機抽取50人，得到各班抽取的人數(shù)和其中本科上線人數(shù)，并將抽取數(shù)據(jù)制成下面的條形統(tǒng)計圖.

（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖，估計本屆高三學(xué)生本科上線率.

（2）已知該省甲市2020屆高考考生人數(shù)為4萬，假設(shè)以（1）中的本科上線率作為甲市每個考生本科上線的概率.

（i）若從甲市隨機抽取10名高三學(xué)生，求恰有8名學(xué)生達(dá)到本科線的概率（結(jié)果精確到0.01）；

（ii）已知該省乙市2020屆高考考生人數(shù)為3.6萬，假設(shè)該市每個考生本科上線率均為，若2020屆高考本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市，求p的取值范圍.

可能用到的參考數(shù)據(jù)：取，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在棱長均為的三棱柱中，平面平面，，為與的交點．

（1）求證：；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

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