Question

4．已知正四棱錐P-ABCD的所有頂點都在球O上，且AB=a，側棱長為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，則球O的體積為$\frac{\sqrt{3}{a}^{3}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)幾何體的性質(zhì)，轉化為平面問題，利用勾股定理求解得出球的半徑．

解答 解：∵AB=a，側棱長為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，
∴O′A=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，O′A=O′B，
∴（$\frac{\sqrt{3}a}{2}$）²=（$\frac{\sqrt{2}a}{2}$）²+O′P²，O′P=$\frac{1}{2}a$，
∵設球的球心O，半徑R，
∴R²=（$\frac{\sqrt{2}a}{2}$）²+（R-$\frac{a}{2}$）²，
R=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，
∴球O的體積為：$\frac{4π×（\frac{\sqrt{3}a}{2}）^{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}{a}^{3}}{2}$
故答案為：$\frac{\sqrt{3}{a}^{3}}{2}$

點評 本題考查球O的體積，考查學生的計算能力，確定球的半徑是關鍵，比較基礎