Question

15．如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，AA₁=AB=AC=2，BC=2$\sqrt{2}$，M，N分別是CC₁，BC的中點，點P在直線A₁B₁上，且$\overrightarrow{{A_1}P}=λ\overrightarrow{{A_1}{B_1}}$．
（Ⅰ）證明：無論λ取何值，總有AM⊥PN；
（Ⅱ）當(dāng)λ取何值時，直線PN與平面ABC所成的角θ最大？并求該角取最大值時的正切值．

Answer 1

分析 （I）建立空間直角坐標系，求出$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{PN}$的坐標，只需證明$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{PN}=0$即可；
（II）顯然平面ABC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），根據(jù)sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PN}$，$\overrightarrow{m}$＞|求出sinθ的最大值，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出tanθ．

解答 證明：（I）∵AB=AC=2，$BC=2\sqrt{2}$，∴AB²+AC²=BC²，
∴AB⊥AC，即AB、AC、AA₁兩兩相互垂直．
以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，
則A₁（0，0，2），B₁（2，0，2），M（0，2，1），N（1，1，0）．
∵$\overrightarrow{{A_1}P}=λ\overrightarrow{{A_1}{B_1}}$，∴P（2λ，0，2），∴$\overrightarrow{PN}$=（1-2λ，1，-2）.$\overrightarrow{AM}=（0，2，1）$，
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{PN}=（1-2λ）×0+1×2+（{-2}）×1=0$．
∴無論λ取何值，AM⊥PN．
（Ⅱ）∵$\overrightarrow m$=（0，0，1）是平面ABC的一個法向量．
∴$sinθ=|{cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow{PN}＞}|$=$\frac{|0+0-2|}{{\sqrt{{{（1-2λ）}^2}+1+4}}}=\frac{2}{{\sqrt{{{（2λ-1）}^2}+5}}}$．
∴當(dāng)λ=$\frac{1}{2}$時，θ取得最大值，
此時sinθ=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，cosθ=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，tanθ=2．

點評 本題考查了空間角的計算，空間中垂直關(guān)系的判斷，屬于中檔題．