Question

19．已知三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=$\frac{1}{2}$AB，N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN，M，S分別為PB，BC的中點(diǎn)．則SN與平面CMN所成角的大小為（　�。�

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=4，SN與平面CMN所成角為α，求出$\overrightarrow{SN}$和平面CMN的法向量$\overrightarrow{n}$，則sinα=|cos＜$\overrightarrow{SN}，\overrightarrow{n}$＞|．

解答 解以A為原點(diǎn)，以AB，AC，AP為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：
設(shè)AB=4，則AN=1，PA=AC=2，
∴N（1，0，0），S（2，1，0），C（0，2，0），M（2，0，1），
∴$\overrightarrow{SN}$=（-1，-1，0），$\overrightarrow{CM}$=（2，-2，1），$\overrightarrow{CN}$=（1，-2，0）．
設(shè)平面CMN的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CM}$=0，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CN}$=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-2y+z=0}\\{x-2y=0}\end{array}\right.$，令x=2，則$\overrightarrow{n}$=（2，1，-2），
∴$\overrightarrow{SN}•\overrightarrow{n}$=-2-1=-3，|$\overrightarrow{SN}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{n}$|=3，
∴cos＜$\overrightarrow{SN}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{SN}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{SN}||\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
設(shè)SN與平面CMN所成角為α，則sinα=|cos＜$\overrightarrow{SN}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴α=45°．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．