Question

16．已知函數(shù)f（x）=1-x+lnx．
（1）求函數(shù)在點x=2處的切線方程；
（2）對任意x∈（0，+∞），f（x）≤0恒成立；
（3）證明：當n∈N₊時，不等式（$\frac{1}{n}$）ⁿ+（$\frac{2}{n}$）ⁿ+…+（$\frac{n-1}{n}$）ⁿ+（$\frac{n}{n}$）ⁿ＜$\frac{e}{e-1}$成立．

Answer 1

分析 （1）求導f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，從而求函數(shù)在點x=2處的切線方程；
（2）由（1）知f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)，從而化恒成立問題為最值問題；
（3）由（2）知，1-x+lnx≤0恒成立，從而可得對任意實數(shù)x均有1+x≤e^x，從而可得（1-$\frac{k}{n}$）ⁿ≤e^-k，從而可得（$\frac{1}{n}$）ⁿ+（$\frac{2}{n}$）ⁿ+…+（$\frac{n-1}{n}$）ⁿ+（$\frac{n}{n}$）ⁿ≤e^-（n-1）+e^-（n-2）+…+1；而e^-（n-1）+e^-（n-2）+…+1=$\frac{1-{e}^{-n}}{1-{e}^{-1}}$＜$\frac{e}{e-1}$；從而證明．

解答 解：（1）∵f（x）=1-x+lnx，∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
故f（2）=1-2+ln2=ln2-1，f′（2）=$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$；
故函數(shù)在點x=2處的切線方程為y-ln2+1=-$\frac{1}{2}$（x-2），
即x+2y-2ln2=0；
（2）證明：由（1）知，f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)，
故f（x）≤f（1）=1-1+0=0；
故對任意x∈（0，+∞），f（x）≤0恒成立；
（3）證明：由（2）知，1-x+lnx≤0恒成立；
即對任意實數(shù)x均有1+x≤e^x，
令 n∈N^*，k=0，1，2，3，…，n-1，
則0＜1-$\frac{k}{n}$≤${e}^{-\frac{k}{n}}$；
∴（1-$\frac{k}{n}$）ⁿ≤e^-k，
∴（$\frac{1}{n}$）ⁿ+（$\frac{2}{n}$）ⁿ+…+（$\frac{n-1}{n}$）ⁿ+（$\frac{n}{n}$）ⁿ≤e^-（n-1）+e^-（n-2）+…+1；
而e^-（n-1）+e^-（n-2）+…+1=$\frac{1-{e}^{-n}}{1-{e}^{-1}}$＜$\frac{e}{e-1}$；
故（$\frac{1}{n}$）ⁿ+（$\frac{2}{n}$）ⁿ+…+（$\frac{n-1}{n}$）ⁿ+（$\frac{n}{n}$）ⁿ＜$\frac{e}{e-1}$．

點評 本題主要考查函數(shù)的單調性和導數(shù)的之間關系，以及不等式恒成立問題，將不等式恒成立轉化為求函數(shù)的最值是解決本題的關鍵．