Question

4．設(shè)圓C是以C（4，0）為圓心，2為半徑的圓．
（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）過極點(diǎn)O作直線與圓C交于P，Q兩點(diǎn)，求弦PQ的中點(diǎn)M的軌跡的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：（x-4）²+y²=4，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出；
（2）設(shè)直線PQ的方程為：y=kx，線段PQ的中點(diǎn)M（x，y）．與圓的方程聯(lián)立可得：（1+k²）x²-8x+12=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式聯(lián)立消去k可得：x²+y²=4x，即為弦PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程，化為極坐標(biāo)方程即可，注意范圍．

解答 解：（1）由已知可得：（x-4）²+y²=4，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得：ρ²-8ρcosθ+12=0．
（2）設(shè)直線PQ的方程為：y=kx，線段PQ的中點(diǎn)M（x，y）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{（x-4）^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為（1+k²）x²-8x+12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8}{1+{k}^{2}}$=2x，∴$x=\frac{4}{1+{k}^{2}}$，
∴y=kx=$\frac{4k}{1+{k}^{2}}$，
聯(lián)立消去k可得：x²+y²=4x，即為弦PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程，
化為極坐標(biāo)方程：ρ=4cosθ$（θ∈（-\frac{π}{6}，\frac{π}{6}））$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．