Question

10．在8件獲獎(jiǎng)作品中，有3件一等獎(jiǎng)，有5件二等獎(jiǎng)，從這8件作品中任取3件．
（1）求取出的3件作品中，一等獎(jiǎng)多于二等獎(jiǎng)的概率；
（2）設(shè)X為取出的3件作品中一等獎(jiǎng)的件數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A為事件“取出的3件產(chǎn)品中，一等獎(jiǎng)多于二等獎(jiǎng)”，利用互斥事件加法公式能求出取出的3件作品中，一等獎(jiǎng)多于二等獎(jiǎng)的概率．
（2）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)A為事件“取出的3件產(chǎn)品中，一等獎(jiǎng)多于二等獎(jiǎng)”，
依題意，則有P（A）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{5}^{1}+{C}_{3}^{3}{C}_{5}^{0}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{15+1}{56}=\frac{2}{7}$，
∴取出的3件作品中，一等獎(jiǎng)多于二等獎(jiǎng)的概率為$\frac{2}{7}$．
（2）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{0}{C}_{5}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{5}{28}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{5}^{2}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{15}{28}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{15}{56}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{1}{56}$，
∴隨機(jī)變量X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{5}{28}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{1}{56}$

∴EX=$0×\frac{5}{28}+1×\frac{15}{28}+2×\frac{15}{56}+3×\frac{1}{56}$=$\frac{9}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．